7A-32 Lowest tone resonance of cello - 3 -

[ 1/27/2022 ]   Labels:  53.Endpin-Resonance3

 
(1) REVIEW-1: Cello tones :D#(78 Hz) to D(147 Hz) are presumed taking a two times '8'-shape-circling-orbit along the upper octave orbits. Actually, observing oscilloscope shows a typical two beats in a cycle period.
(2) REVIEW-2: The lowest tones: C(66Hz) to D(74Hz) has unfortunately a longer wavelength than the 'two-cycle-orbit'. If the cello is floating in the air, a very unique solution is adopted: Many upper overtone orbits are linked then makes an fundamental-tone-equivalent wavelength. The typical sample is the C(66Hz, wavelength=5.18m). Sometimes C(5.18m) is assembled as G(198Hz,1.73m)+C(263Hz,1.30m)+E(331Hz,1.04m)x2. Wave-synthesis simulation results sometimes well match to the real sound waveform. C(131Hz) never participates as a candidate because the actual C(131Hz) orbit does not exist in the cello body.
(3) When a cello placed on the floor, actual oscilloscope study indicates A)fading overtone assemblage in sound and B)remarkable interference beats on endpins. In many cases the interference beats are cast as a synthesis of two original different frequency. The ratio was usually 1.1 or 1.2, for instance, 5.18m(C66Hz) vs 5.18m + 'endpin length(0.5m)' x2 can make the ratio as 1.2. The real orbit/route in a cello seems prior to the virtual orbits inside the cello body. Endpins are now a part in cello. Usually, endpins do not create a real sound but sometimes generates an unpleasant interference beats at the endpin, then the beats sometimes fiercely impact on the floor

(1) 復習-1: D#(156Hz)よりも低トーンでは筐体内でどのように共鳴しているかと言えば、上側の1オクターブで取っている８の字軌道を２周していると考えられる。実際に音波形を調べると基本的に"２ビート"であることから解る。
(2) 復習-2: 最低音C(66Hz)-D(74Hz)では、そのトーン波長が８の字を２周しても筐体内に収まらない。エンドピン無しで空中で演奏される時、チェロはその解決策として上方の(高音)倍音を複数組み合わせてバーチャル軌道を採用しているように見える。ちなみに、C(66Hz)の場合、例えば、G(197Hz) + C(263Hz) + E(331Hz)x2 = C(66Gz,5.18m波長と同じ長さとなる) を取ることが多いようだ。波の合成シミュレーション波形とよく一致する。ここで、C(131Hz)倍音は含まれない。なぜならこの軌道は成立しないから。
(3) エンドピン付きで床置きした場合はどうであろうか。観察してみると筐体から放出される(倍音)バーチャル軌道波形(,音)の比率は低下し、代わってエンドピンの顕著な機械振動が目につくようになる。エンドピンに激しいうなりを伴う干渉波形が見られる場合が多い。シミュレーションによれば、８の字x２周 + エンドピン全長x２(=1.2) と ８の字x２周(=1.0) の波長がエンドピンで干渉していると推定される。つまり、余った波長長さがエンドピン往復(1回)の距離を使って帳尻を合わせている形である。バーチャル軌道よりもリアル軌道が優先され、エンドピンが楽器の一部になっていることを意味している。エンドピンは振動しても音はほとんど生成しない。その干渉波は条件がそろうと、与えられる周期に呼応してエアハンマーのように床に伝わることになる。これが床を揺らすチェロの低音の一因であると考えられる。

 

 

7A-31 Review - Cello Wolftone -

 [ 1/21/2022 ]   Labels :  53.Endpin-Resonance3

 
As the beginning of cello low tones study, let's review first the wolf-tone around E(166Hz).
D#-tone(156Hz, Period=6.40mS, Wavelength=2.18m) is very special for 4/4-full-size cellos, because D# is the lowest note that a cello can adopt a flawless simple '8'-shape resonance orbit(-as the longest route-) inside the cello body. Just inside the cello body the perimeter of the bouts wall is 2.18 meter. It is just the same to D# wavelength in the air.
E or F tone takes a little bit shorter wavelength(/slender orbit) instead, so that the orbit of E/F is rather unstable. The echo from the new born E/F resonance runs off from the original orbit swiftly then gathers to just inside the bouts wall, because the sound travels straight in the air. If D# echo is enhanced up to almost equal to E/F resonance amplitude and the two wavelength takes about 10-20% apart, a harsh wolf-tone(interference beat, including no-sound moments) suddenly comes out.
An elaborately manufactured cello can have a beautiful '8'-shape resonance orbit in the body. Probably the wolf-tone is related to the original design/structure.
The interference phenomena occur inside the cello body and in the air, so the unpleasant wolf-wave travels through the air. In this case endpins are not related directly.

チェロのウルフトーンのメカニズムを復習しておこう。
チェロの中心音域のD#音付近(156Hz, 周期=6.40mS, 波長=2.18m)はチェロにとって特別である。チェロの筐体内の響きが(1周の)８の字軌道でとりうる最低音(最長の波長)である。一般的な4/4サイズのチェロでは 延長=2.18メートル程度であり、ちょうどD#付近の(大気中の)波長と一致する。
これに対して E(166Hz),F(175Hz)では波長が若干短い。不幸なことにE音のエコーは、1周回した時、そのエコーは軌道を少し大回りして外側に膨らんでしまう。なぜなら物理法則によれば音は直進するからである。側板の壁がエコーを閉じ込めるために残響が壁の内側に高濃度に集まることになる。残響はD#軌道となり、生まれた直後の響きとエコーの波長差が 6-12%で 振幅強度がほぼ同等な時、干渉が最大(音が一瞬消失)となる現象が起こる。これがウルフトーンであると考えられる。
左右均等に丁寧に製作された美しい筐体の楽器は豊かな残響を持つ。しかしウルフはその分きつい。その意味でウルフトーンはチェロという楽器(８の字系筐体)の構造上の問題でありデザイン上の問題であるとも言える。
また、E,F,G,G#あたりまでD#のエコーとの干渉は弱くなっては行くが連続して見られる。干渉が筐体内で起こるためにうなり・ウルフは音として放出される。この時エンドピンは直接関与しない。

7A-30 Endpin-Floor Resonance -2-

[ 1/16/2022 ]   Labels: 53.Endpin-Resonance3

 
Endpin-Floor resonance was checked up on cello low tones.
The outline is here and details will be on later posts.
(1)Floor resonance seems very capricious. Favorable conditions sometimes assemble an energetic resonance on the floor.
(2)There seems to be two remarkable resonant areas.
  [A]:C(66Hz)-E(83Hz), accompanying a typical interference beats on the endpin, taking 1-beat, same pitch to the fundamental tone. This mechanism is probably similar to 'wolf-tone'.
  [B]:E(83Hz)-G(98Hz), the 2-beat(or 3- 4-beat) impact brought by perfect body-endpin resonance of 2-beat.
(3)The resonance amplitude/intensity of the floor might be depend on the direction the endpin resonates.

２台のチェロと３本のエンドピンで、チェロの低音(C - F)について、エンドピンと床の共振関係の全体像をまとめた。
床の振動を正確に調べるのは難しいが、全体像は把握可能である。次の傾向が見えてきた。

(1)床の振動(共振)は'気まぐれ'である。通常ほとんど床へは大きな振動は及ばない、しかし一定の条件が重なると極めて大きなエネルギーが床に流失する場合があるようだ。
(2)床が大きな振動を得るのは主に2エリアである。[A]:C(66Hz)-E(83Hz)でエンドピンに大きな'干渉うなり'を伴う場合、[B]:E(83Hz)-G(98Hz)で筐体・エンドピンとともに同期をとって２ビート(または 3- 4-ビート)でぴったり共振する場合、で見られる。[A]の場合は演奏される音と同期・同ピッチの１ビートであり、１オクターブ上で起こるウルフトーンと良く似ている。
(3) [A][B]のメカニズムは各々異なっているようだ。床を大きく揺らすか否かは、エンドピンの共振する方角と関係があるかも知れない。
この後詳しく解説を試みる。

7A-29 Floor and Low tones Resonance -1-

 [ 1/13/2022 ]   Labels: 53.Endpin-Resonance3

Now, we shall study the cello resonance for the lowest tones(:C, C#, D, E, F..) with associating to endpin and floor.
Many kinds of finding/phenomena that we have already posted last year seem all relating and seen in this low tone area like a diorama. i.e. '8-shape' resonance orbit, wolf-tone, interference beat, endpin(rod) resonance etc.

チェロの低音共振と床振動について調べる。
ほぼこの１年間、(a)チェロの筐体の共鳴(８の字共鳴軌道)、つづいて(b)エンドピンの共振について調べてきて、多くの収穫があった。最後に、(c)低音域における筐体共鳴と床の振動について改めて詳細な調査を行い、この一見混沌としたエリアで何が起こっているか考察してみる。
この(c)域の特徴は、チェロにエンドピンを装着して床上で演奏すると、全般としてチェロの響きが委縮してしまうことと、時として床に大きな振動を放出する(ことがある)点が特徴だ。
調べていくと、このエリアは、(a)(b)を含めてチェロ・エンドピンの共振像の縮図のようである。

7A-28 Endpin's extra length takes the initiative

 
[ 12/30/2021 ]   Labels:  53.Endpin-Resonance3

 
Endpin resonance was checked over a wide area deploying a carbon endpin(73g,455mmL) and/or a titanium endpin(178g,520mmL) on CELLO-2, from C(66Hz) to A(884Hz).
The resonant area, like a series of mountains, was seen linearly throughout almost everywhere. However the inclination direction was strange. Long endpin at lower tones and short endpin at higher tones shared the same continuous resonance. In other words, endpin's extra(/excess) length actually seems taking an initiative of the resonance, inside the dark cello body.
Take a try a simple test using a thin acrylic rod, for example. When the one end of the rod fixed and other one optional point is pinched (with your fingers) and shaken, the rod will resonate taking a convenient cycle according to the extra(/excess) length. Long extra length rod brings a slow(low frequency) vibration. Seems like a same behavior as endpins.

--エンドピンの余長がエンドピンの共振を決めている--
チェロ-2と カーボンエンドピン(73g,455mmL)とチタンエンドピン(178g,520mmL)の組み合わせで、最低音C(66Hz)-A線上の高音A(884Hz)に渡ってエンドピンの長さを調整しながらエンドピンの共振パターンを調べた。エンドピンの材質によって傾きに違いはあるが、エンドピンの長さと与えられるトーン(周波数)で直線的に連続した山脈と谷状の共鳴域が(交互に)現れることが分かった。長いエンドピンの時低音側で起こるものと短いエンドピンで高音側で起こるものが同じ(共振振動数)であった。つまりチェロの筐体の外に引き出されている長さではなく、筐体内に隠れている余長の長さこそがエンドピンの大きな共振を決めていたのだ。
ちなみに5mm角程度のアクリル棒の一端を固定し、適当な位置をつまんで揺すって(振動させて)みると解る。余長が短いと短周期で、長いと長周期で共振する。まさに同じことがエンドピンで起こっていて、大部分のチェロの音域で主たるエンドピンの共振を決めていると考えられる。

7A-27 Endpin Resonance - Fine Vibration on Endpin - on A

 [ 12/19/2021 ]   Labels: 53.Endpin-Resonance3

 
Distinctive fine (and regular) vibration was found here and there on cello endpins during studies of endpin resonance.
For instance, 8,7,6,5,4-beats(/period) were seen on carbon-endpin(54g, 396mmL) at A-string study. Tiny mechanical vibrations in a period actually showed the same frequency: around 1870Hz. Titanium endpin also indicated 1870Hz(A#). Steel-pipe endpin gave 1760Hz(A).
This unique oscillation probably is supposed as the 'characteristic frequency' based on the material of the endpin as a rod or pipe. They can just be seen only when the given tone frequency takes just n-times of the characteristic frequency. Similar fine patterns seem also copied on the sound waveform.
Nevertheless, fierce endpin resonance spots do not seem corresponding directly to the sub-tones(:n-times point) of the characteristic frequency. There seems something another factors(:mechanical/structural) participating.

A線(221Hz以上)の音に対してのエンドピンの共振を調べていると、所々で多ビートの細かな機械的振動を見つけることができるので、その例を紹介する。
(1) 例えば、54g-396mmLのカーボンエンドピンでは、221Hz-468Hzの範囲で 1周期内に 8,7,6,5,4ビートの機械的と見える振動が見つかる。
これらの微細振動はどれもほぼ同じ周波数(1870Hz付近)を示している。同様に チタンエンドピンでも 1870Hz付近である。スチールパイプエンドピンでは 1760Hz付近の振動であった。これらの周波数音は A線で言えば指板を少し外れた (第35半音の)A-(第36)A#に相当する。
(2) この特別な周波数はおそらく棒状-パイプ状の素材の持つ「固有振動」と考えられる。あるいは第2案としては テールガットの激しい共振振動であるかも知れない。
(3) この固有振動に対して チェロから与えられるトーン振動の波長がちょうど n倍の(低音倍音)と重なる時に顔を出す。この時、細かな振動は同様にチェロが放つサウンドの波形にも見られる。音質(音色)に影響していると考えられる。
(4) 一方、エンドピンが大強度で共振するところは高周波域を除けば 固有振動とは直接一致していない。エンドピンの長さと与えられる振動とで決まる棒・パイプ物質の構造的共振であるように見える。(:今のところ説明できなく、どこに現れるか予測不能)
この後、C線(低)音域で同様にエンドピンの挙動を見ていくが、そこで新たなヒントが見つかるかもしれない。

7A-26 Endpin Resonance - on A - Intensity and Beat

 [ 12/15/2021 ]   Labels: 53.Endpin-Resonance3

 
 Endpin resonance was studied in detail at every A(221Hz)-A(442Hz) semitone on A-string with being adjusted/changed the endpin length.
The candidates were:
(a) Carbon endpin, 54g, 10mmD, 396mmL, -This endpin had been cut off about 10cm in order to improve the response performance in daily use.
(b) Steel pipe endpin, 132g, 10mmD, 530mmL
(c) Titanium endpin, 178g, 10mmD, 520mmL
The result suggests us;
(1) When the endpin tip is fixed on floor, the endpin resonance seems  differing with the patterns according to the another(/the second) held position. The 1/2 length of the whole endpin seems the key.
(2) Endpins seem having the lowest limit frequency that can resonate by one beat with the given tones around this area: the first position of A-string(tone: A-D).
(3) The resonant area(, and less resonant area on the contrary) exist like a range of mountains( or valleys) relating both of frequency and endpin length. When an endpin resonates well, the cello sound will be probably influenced. On the contrary if an endpin stays still, the mass might contribute as a mute.
(4)  Sometimes at some special spot, we can find a unique 'mechanical-many-beat' pattern in a cycle period. That gives us a premonition of the fundamental frequency of the endpin as a rod/pipe. Posted later.

A線:A(221Hz)-A(442Hz)の半音ごとに、エンドピン長さを変えて、エンドピンの振動強度と(1周期内の)Beat数を調べた。
カーボンエンドピン(54g,396mmL,市販品を10cm短く加工したもの,軽量でレスポンスが良い)、スチールパイプ製(132g,530mmL)、チタン製(178g,520mmL)のデータをまとめた。
(1)エンドピンの全体長の 概ね 1/2を境として共振パターンに違いがあるように見える。
(2)A線の第一ポジションの A-Dあたりにエンドピンが１ビートで共振可能な下限があるようだ。それ以下の周波数域ではエンドピンは複数ビートで供給音と共振することとなる。
(3)周波数・エンドピン長さの双方に依存した強い共振域(山脈状)があり、逆にほとんど共振しない(谷状の)エリアとうねり状の領域を作っている。共振域ではエンドピンの振動が筐体の振動に対して直接的な影響(音質にも影響)を及ぼし、逆に谷エリアではミュートとしての影響している可能性がある。
(4)ところどころでエンドピンのクリヤーな多ビートが見られるデータが見つかった。エンドピンの(恐らく)基本振動数が垣間見えるのかもしれない。これについては続報にまとめる。

7A-25 Resonance - Short Endpin vs Long Endpin

 [ 12/11/2021 ]   Labels: 53.Endpin-Resonance3

 
How resonates a long pulled out endpin, or a short endpin contrary? The resonance amplitude and also the beat number in the cycle period were reviewed for :A(221Hz)-A(442Hz) tones on A-string and C(66Hz)-C(131Hz) on C-string, adjusting several endpin length.
Cello endpin is ordinarily equipped as around 500cm full length.
When a cellist plays a cello with long endpin, the endpin would resonate like as a rope of skipping rope on the floor. On the other hand the short endpin will give way the major resonance to the extra length part that is usually invisible inside the body.  

エンドピンを長く引き出して演奏する時と短い場合とでエンドピンの振動(共振)はどう違うのか、1周期当たりの振動ビート数にも注目してデータをまとめてみる。
一般的なチェロのエンドピンは 50cm前後の長さのものが多い。A線:A(221Hz)-A(442Hz)、C線:C(66Hz)-C(131Hz)で半音ごと、またエンドピン長さを 1～2cm刻みで調整して、振動強度とBeat数を調べた。
長いエンドピンの場合、縄跳びの縄のようなパターンで共振し、短い場合はチェロの筐体内で人目に触れることのない余長部分が共振の主役となると考えられる。